Matematica (UM.)

Programma

 

Gli insiemi numerici e l'aritmetica

Frazioni numeriche: operazioni e diseguaglianze, rappresentazione decimale
Numeri razionali relativi e proprietà delle operazioni, legge di annullamento del prodotto, regola dei segni
Diseguaglianze e loro proprietà fondamentali: valori assoluti, calcoli numerici approssimati.
Nozione di numero reale
Media aritmetica e media geometrica
Divisione con resto fra gli interi naturali, divisibilità. Massimo comun divisore, minimo comune multiplo. Algoritmo di Euclide per il calcolo del massimo comun divisore.
Numeri primi, crivello di Eratostene, dimostrazione che esistono infiniti numeri primi, scomposizione di un intero in fattori primi. 

 

L'algebra 

Elementi di calcolo letterale, uso delle lettere e uso delle parentesi
Monomi e polinomi, grado; operazioni algebriche su polinomi. Frazioni algebriche
Divisione con resto tra polinomi. Divisibilità di un polinomio per x a.
I polinomi come funzioni e il teorema di identità dei polinomi.

 

La geometria

Conoscenza dei termini: assioma (o postulato), teorema, lemma, corollario, ipotesi, tesi
Elementi di geometria piana: incidenza, perpendicolarità, parallelismo
Il postulato delle parallele
Figure convesse, poligoni convessi
Trasformazioni del piano e loro composizione (simmetrie rispetto a una retta e a un punto, traslazioni e rotazioni, omotetie e similitudini)
Proprietà delle figure piane, in particolare in relazione alle simmetrie
Teoremi di Talete, Euclide, Pitagora
Il parallelogrammo. I vettori e le operazioni sui vettori
Proprietà segmentarie e angolari del cerchio (corde, secanti, tangenti, arco capace di un dato angolo)
Misura degli angoli, somma degli angoli interni ed esterni di un poligono convesso.
Il piano cartesiano: rappresentazione delle rette, dei cerchi, della parabola, dell'ellisse, dell'iperbole (in forma canonica)
Geometria dello spazio: incidenza, perpendicolarità. Angolo tra retta e piano, rette incidenti, parallele e sghembe. Diedri e triedri.
Poliedri convessi. Formula di Eulero. Parallelepipedo rettangolo e generico. Poliedri regolari.
Sfera, cono e cilindro.

 

Il linguaggio degli insiemi. Equazioni e disequazioni

Linguaggio elementare degli insiemi
Relazioni, in particolare di equivalenza e di ordine
Applicazioni (funzioni). Applicazioni iniettive, surgettive, bigettive
Elementi di calcolo combinatorio: disposizioni con ripetizione, disposizioni semplici, combinazioni.
Equazioni e disequazioni. Equivalenza di equazioni e di disequazioni. Equazioni e disequazioni di primo grado
Sistemi lineari di due equazioni in due incognite e loro interpretazione nel piano cartesiano
Radice n-sima nell'insieme dei numeri reali positivi
Equazione di secondo grado e condizioni di risolubilità in campo reale. Relazione tra i coefficienti e le radici.
Grafico di un trinomio di secondo grado.

 

Successioni e funzioni elementari

Successioni; progressioni aritmetiche e geometriche
Potenze con esponenti razionali e base positiva
Funzioni esponenziali e logaritmiche, loro rappresentazione grafica. Logaritmo decimale e sua relazione con la rappresentazione decimale dei numeri
Lunghezza del cerchio e di un arco di cerchio
Misura degli angoli in radianti
Definizione del seno, del coseno, della tangente e prime proprietà.
Criteri di congruenze dei triangoli e relativi problemi trigonometrici: teorema dei seni e teorema di Carnot. Grafici delle funzioni circolari. Formule di addizione delle funzioni trigonometriche. Definizione delle funzioni arcoseno, arcotangente e loro grafici.

 

Area e volume

Area di una regione piana: area dei triangoli e dei parallelogrammi; triangolazione dei poligoni. Approssimazione dell'area di figure curvilinee.
Area dei poligoni ed equiscomponibilità. Area del cerchio
Volume di un solido. Il principio di Cavalieri
Volume del cilindro, del cono, della sfera.
Aree e volumi di figure simili.

 

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