SEMINARI DI ANALISI PURA E APPLICATA - Fenomeni di trasporto: Introduzione alla modellazione matematica e simulazione numerica

Durata: 28 ore

Programma

Presentazione e scopi del corso:

Comprendere i processi di trasporto di massa, quantità di moto ed energia è importante in numerosi ambiti, dall’ingegneria alla medicina alla biologia. La conoscenza dei processi di trasporto risulta fondamentale per la progettazione e l’analisi del funzionamento di diverse apparecchiature: circuiti di raffreddamento per dispositivi elettronici, combustori industriali e reattori biologici per l’accrescimento cellulare sono solo alcuni esempi.

Obiettivo di questo corso è:

(1) fornire agli studenti gli strumenti necessari per sviluppare e analizzare criticamente modelli matematici dei problemi di trasporto di massa quantità di moto e energia;

(2) fornire le nozioni fondamentali per il calcolo numerico e la risoluzione delle equazioni differenziali che governano i processi esaminati.

Il corso verterà su argomenti di meccanica dei fluidi, trasporto di materia e interazioni biochimiche. I problemi e gli esempi includeranno le soluzioni analitiche.

Verranno accennate le metodologie per eventuali soluzioni numeriche.

Chi dovrebbe seguirlo?

Obiettivo del corso è mettere lo studente in grado di analizzare criticamente un un problema di trasporto tempo- e spazio-dipendente, identificare un modello e risolvere il modello con metodi analitici (o numerici, laddove necessario). Il corso è quindi indirizzato a studenti di medicina, ingegneria, matematica, fisica, biologia etc.

Materiale

Il materiale del corso saranno dispense del docente e altro materiale didattico fornito durante il corso. Il corso prevede del lavoro indipendente basato sullÕutilizzo di modelli matematici. Il corso prevede la realizzazione di eventuali progetti individuali di carattere modellistico/numerico.

mod. 1, 2 ore, conferenza :  Emmy Noether's unique in delity to algebra: symmetry and conservation
laws
Prof. Jean Mawhin (Universita di Louvain la Neuve) presentera il lavoro di Emmy
Noether riguardante l'uso delle simmetrie del lagrangiano per trovare integrali primi
o leggi di conservazione.

mod. 2, 2 ore, conferenza: Il problema isoperimetrico: un'introduzione alla teoria geometrica della
misura
Prof. Guido De Philippis (S.I.S.S.A., Trieste). Il problema isoperimetrico consiste
nel trovare l'insieme di area prescritta con perimetro minimo, esso e forse il problema
piu vecchio nel calcolo delle variazioni e la sua soluzione era gia nota agli antichi
greci. Una sua formulazione rigorosa e stata tuttavia possibile solo negli ultimi
cento anni. Scopo del seminario e introdurre il problema e mostrare alcune delle
tecniche che hanno portato alla sua soluzione e alla nascita della teoria geometrica
della misura.

mod. 3, 14 ore, prof. Cristian Marchioli

1. Introduzione ai fenomeni di trasporto per diffusione e trasporto per convezione (6 h)

(a) Trasporto per diffusione e legge di Fick

(b) Esempi: Diffusione attraverso film stagnante, diffusione attraverso membrane porose e non porose, diffusione con reazione

(c) Trasporto per convezione

(d) Esempi: Trasporto da una bolla di ossigeno, trasporto convettivo con reazione

(e) Trasporto per convezione-diffusione

(f) Esempi: Flussi turbolenti ed equazioni di Navier-Stokes

2. Introduzione ai Problemi Differenziali

(a) Equazioni differenziali ordinarie (ODE) e alle derivate parziali (PDE)

(b) Classificazione delle PDE

3. Introduzione ai Metodi Numerici per Equazioni Differenziali Ordinarie

(a) Metodi alle Differenze Finite

(b) Tecniche di integrazione temporale

(c) Metodi Risolutivi per sistemi di equazioni: Metodi diretti e impliciti

(d) Metodi ai Volumi Finiti (Facoltativo)

(e) Metodi spettrali (Facoltativo)

Esercitazione “hands-on computer”

mod. 4, 4 ore, prof.ssa Rodica Toader

Il corso intende presentare in maniera accessibile diversi aspetti della modellizzazione ma-
tematica di fenomeni osservati in meccanica, scienza dei materiali, biologia, neuroscienze.
Partendo dalle applicazioni si arrivera a introdurre la formulazione rigorosa dei problemi
matematici e a mostrare alcune tecniche che portano alla loro soluzione. I modelli verranno
descritti in una serie di seminari che saranno accompagnati da lezioni preparatorie e incontri
di approfondimento.

mod. 5, 2 ore, conferenza: Matematica e fenomeni collettivi
Prof.ssa Debora Amadori (Universita dell'Aquila) introdurra una classe di modelli
di sincronizzazione per oscillatori, in particolare il modello di Kuramoto, che trovano
applicazione in diversi ambiti, fra cui neuroscienze, biologia.

mod. 6, 2 ore, conferenza: Modelli matematici in sica, biologia, materiali speciali
Prof.ssa Elisabetta Rocca (Universita di Pavia) passera in rassegna una classe di
modelli matematici illustrando il loro ambito applicativo ed alcune tecniche usate
per studiarli.

mod. 7, 2 ore, conferenza: Modellare con l'analisi matematica oggetti sottili che si arricciolano: dalla
natura alla tecnologia
Prof.ssa Virginia Agostiniani (Universita di Verona) presentera alcuni aspetti della
modellizzazione del comportamento di strutture sottili come per esempio i nastri e
le loro applicazioni tecnologiche.


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