Calcolo delle variazioni

Durata: 28 ore

Programma

SSD MAT/05

Docente: Elio Cabib

 

Problemi storici del Calcolo delle variazioni

Esempi di problemi isoperimetrici, il problema di Didone, geodetiche, principio di Hamilton in Meccanica, ruolo della convessità e uso della disuguaglianza di Jensen, controesempi all’esistenza. Il problema della superficie di rivoluzione di area minima e il problema di Plateau, il problema di Dirichlet per il laplaciano, cenno al caso dell'elasticità lineare, la catenaria, la brachistocrona, il principio di Fermat sulla traiettoria della luce, esempi di problemi con vincoli unilaterali. Formulazione in C1, C1 a tratti (estremali spezzate). Formulazione dei problemi variazionali in una variabile negli spazi W1,∞, delle funzioni lipschitziane e W1,1 delle funzioni assolutamente continue, un esempio di fenomeno di Lavrentiev. Minimi deboli e minimi forti.

 
L'equazione di Eulero

Breve descrizione degli spazi di Sobolev. Funzionali con integrando di Caratheodory, variazione prima, derivata di Gateax, lemma fondamentale del Calcolo delle Variazioni, l'equazione di Eulero, soluzioni classiche, risoluzione di alcuni problemi variazionali precedentemente descritti tra gli esempi, soluzioni radial simmetriche per il laplaciano e per l'area minima, soluzione di Goldschmidt, soluzione fondamentale, soluzioni distribuzionali.

 
Il metodo diretto

Definizione in astratto di funzionale semicontinuo inferiormente e di funzionale coercivo, semicontinuità forte in Lp e debole in W1,p e relazione con la convessità per i funzionali integrali. Esempi e applicazioni. Il concetto di rilassamento, esempi e applicazioni, il problema di Plateau in BV, il teorema di Goffmann-Serrin per calcolo del rilassato del funzionale area.

 
Bibliografia
  1. G. Buttazzo, Semicontinuity, Relaxation and Integral Representation in the Calcullus of Variations, Pitman Research Notes in Mathematics Series, Longman, 1989.
  2. B. Dacorogna, Direct Methods in the Calculus of Variations, Springer-Verlag, Berlin, 1989.
  3. G. Dal Maso, Problemi di Semicontinuità e Rilassamento nel Calcolo delle Variazioni, Quaderni dell'Unione Matematica Italiana 39, Pitagora Editrice, Bologna, 1995.
  4. E. Giusti, Metodi diretti nel calcolo delle variazioni, Unione Matematica Italiana, Bologna, 1994.
  5. G. Talenti, Calcolo delle variazioni, Quaderni dell'Unione Matematica Italiana 2, Pitagora Editrice, Bologna, 1977.
  6. J.L. Troutman, Variational Calculus with Elementary Convexity, Springer, 1983
 

 


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