Dalla combinatorica alla metamatematica

Responsabile didattico: Alberto Marcone

Durata: 28 ore

Periodo didattico: primo semestre

Programma

SETTORE SCIENTIFICO DICIPLINARE: MAT/01

Partendo da alcuni elementi di combinatorica, e più specificamente dalla teoria di Ramsey, il corso vuole condurre ad alcuni risultati metamatematici in particolare arrivando a ottenere l'indimostrabilità nell'aritmetica di Peano di una generalizzazione del teorema di Ramsey. Si tratta di un famoso risultato dovuto a Paris e Harrington che fornisce un esempio matematicamente rilevante del teorema di incompletezza di Gödel.

La teoria di Ramsey asserisce che ogni struttura sufficientemente grande contiene una sottostruttura regolare. In questo campo incontreremo il classico teorema di Ramsey (nelle versioni finita e infinita), il teorema di Turán, il teorema di van der Waerden sulle progressioni aritmetiche e il teorema di Hales-Jewett sulle rette combinatoriali. In questo campo emergerà l'esistenza di funzioni che crescono molto rapidamente.

Alla fine del corso ci affacceremo sull'area di ricerca della reverse mathematics, il cui scopo è precisamente la ricerca degli assiomi necessari e sufficienti per la dimostrazione di specifici teoremi.

I prerequisiti matematici sono minimi (svilupperemo in sintesi i concetti logici necessari), ma è necessaria una certa capacità di seguire argomentazioni matematiche in certi casi complesse.

Bibliografia: Matthew Katz and Jan Reimann, An Introduction to Ramsey Theory: Fast Functions, Infinity, and Metamathematics, American Mathematical Society, 2018.


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